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柯西不等式在最值问题中的应用举例

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2 0 0 5年第 1期

中学数学研究

3 5

柯西不等式在最值问题中的应用举例 浙江省德清县高级中学 柯西( C a u c h y )不等式:设a l, a 2,…, a , b l, b 2,…, b 是任意实数,则( a l b l+a 2 b 2+…

( 3 1 3 2 0 0 ) 胡桂松 束条件的多变量凼数的最值 I口 J题.灵怙妙地

运用它,可使一些问题的解答变得简单明快. 1 .基本运用

+a . b ) ≤( a}+a;+…+口 ) ( b}+b;+… +6 ),等号当且仅当 a l=a 2=…=a=0 或b =k a ( k为常数, i=1, 2,…, n )时成立. 证明:当a l, a 2,…, a 全为零时,命题显 然成立.

对于一些在已知中有明显可用的定值条件或结构模式比较简单的问题,可直接对比应 用.

例1 设、 Y、>O,且+Y+ =1,求 ++

当a l, a 2,…, a不全为零时,令 Y=

9的最小f ̄ ( 1 9 9 o年日本 I MO第一

Y

∑(一 b i ) ,即 i:l

轮选拔赛试题) . 分析:对比柯西不等式的原型,两组数可 ̄Y j 4 - x 测有两组定

Y:(∑口; )一 ( 2∑a i b )+∑ i:l =l i:l

这是关于的一元二次函数,由于 Y≥0, 因此判别式△≤0,所以

4 (∑a i b ) 一 4 (∑口; ) (∑6; )≤0 . i=1 i:1 :l

值: ( 4 - x ) + ( ) + ( ) = 1, .√ + ^ l: 6 . +

即 (∑a i b ) ≤(∑口; ) (∑6; ), 其中当且仅当存在,使得 a i x= b ( i=1, 2, …

解:因为、 Y、 >0,由柯西不等式知:

( + ),+ ) ( +号+导 )

, n )时等号成立.证毕 .

在柯西不等式中,记a}+口;+…+口= P, b}+ b;+…+ 6=Q, a l b l+a 2 b 2+…+ a . b=R,容易得到以下结论: -

≥[ √ + √号 √导] + =

结论 1 如果 P Q为定值,那么当且仅当

3 6,

a l=a 2=…=a =0或b l=k a l ( k

为常数, i=1, 2,…, n )时, 有最大值; 结论2如果 R、 Q ( Q不等于零)为定值, 那么当且仅当 a l=a 2=…=a=0或b : k a ( k为常数, i=1, 2,…, n )时, P有最小值 Q‘

即 +号+ 9 ≥ 3 6 . 当且仅当{=专= z 3,即 =吉, ),= {, = 1时,上式等号成立 . 所以+4 ,,

V导的最小值为 3 6 . +

例2 求实数、 Y的值,使得( Y一1 )+ ( +Y一3 )+( 2 x+Y一6 )达到最小值.

应用柯西不等式可顺利解决某些含有约

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