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椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆的基本知识

1.椭圆的定义:把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c) . 2.椭圆的标准方程:

x2y2 2 1(a>b>0) 2 2

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椭圆知识点归纳总结和经典例题

1(a>b>0) 2abab

焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)

椭圆知识点归纳总结和经典例题

不必考虑焦点位置,求出方程

3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法

例1如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP ,求线段PP 中点M的轨迹.

解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x, y),

2

y

则x=x0, y= 0 得x0=x, y0=2y.

2

∵x0+y0=4, 得 x+(2y)=4,

2

2

2

x2

即 y 1.所以点M的轨迹是一个椭圆. 4

2222

4.范围. x≤a,y≤b,∴|x|≤a,|y|≤b. 椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形里.

5.椭圆的对称性

椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

6.顶点 只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0,得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.椭圆有四个顶点:A1(-a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, -b)、B2(0, b).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点.

线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的

长半轴长.b叫做椭圆的短半轴长.

|B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|=a.

222在Rt△OB2F2中,|OF2|=|B2F2|-|OB2|, 222

即c=a-b.

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