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线性代数练习册第5章作业答案

一、填空题

1、设4阶方阵A的特征值分别为1, 2,3,2.则A2+A的特征值为 . 解 2,2,12,6.

2、设3阶方阵A的特征值为2,-1,3,则2A=解 2A=23A=23×2×( 1)×3= 48.

3、若A是可逆矩阵,且λ1,λ2,L,λn是A的特征值,则A 1特征值为 .

111解 ,,L,

λ1λ2λn

4、若方阵A满足A2=A,则A的特征值是 或. 解 0或1.

5、设3阶可逆方阵A有特征值2,则方阵(A2) 1必有一个特征值为.

1解

4

6、设三阶矩阵A的特征值为0,1,-5,那么矩阵A的秩R(A)=. 解 2

7、设A满足A2+4A+4E=0,则A有特征值_____________. 解 2

201

可相似对角化,则x=. 31x8、设矩阵A=

405

2 λ

1

解 Q

A λE=

3

4

1 λx= (λ 1)2(λ 6) 05 λ

∴ A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=6.

由于矩阵A可相似对角化,故对于特征值λ1=λ2=1,齐次线性方程组(A E)x=0有两个

1 线性无关的解,因此R(A E)=1,由A= 3 4

二、计算题

1、求下列矩阵的特征值和特征向量

12 2 12

; (2) 21 (1) 533

33 10 2

2 λ 12

解 (1) QA λE=5 3 λ3

1

2 λ

01 1 10

0x → 00x 3 知,x=3.

0004 0

3

3 . 6

= (λ+1)3

∴ A的特征值为λ= 1(三重根)

对于特征值λ= 1,由于

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