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二阶变系数线性微分方程的变量代换解法

通过变量代换,寻求将二阶变系数线性非齐次微分方程化为二阶常系数线性非齐次微分方程,或化为一阶微分方程所应满足的条件.

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第 2卷第 3期 1 20 0 8年 6月

高等函授学报 (自然科学版) J u n lo g e re p n e c u a in( t r l ce c s o r a fHih rCo r s o d n e Ed c to Na u a in e ) S

Vo . 1 No 3 I2 .

J n 0 8 u e2 0

大学教学

二阶变系数线性微分方程的变量代换解法 陈惠汝,刘红超 (冈师范学院数学与信息科学学院,北黄冈 480)黄湖 3 00

摘要:过变量代换,求将二阶变系数线性非齐次微分方程化为二阶常系数线性非齐次通寻 微分方程,化为一阶微分方程所应满足的条件 .或

关键词:系数;常系数;自变量代换;因变量代换;一阶微分方程变中图分类号: 7 O1 1文献标识码: A文章编号:0 6 7 5 ( 0 8 0: 0 2— 0 10— 3320)3一 01 2

O引言 变系数的二阶线性非齐次方程,般而言没有统一一 的解法。对于一些特殊的变系数方程,过适当的变量但通

() l z一、 、

d下可 x将方程() 3化为常系性数线

方程。

代换可化为常系数方程,而求解。欧拉方程进如 、

证明令 t ( )有— z,

象+z — ) adF z -o a y

( 1 )

y一 3£= 3 ( )一、 ( )十 J J z, [ z] 代入原方程,项同除以[ ( ) 2得到各 z],

() z.

这里口,l口均为常数,口≠ 0只需令 t lx则 o口,2且 2 .— n z— e,得

+

筹+ 一

一寿. () 4 ,

鲁+口+ .,) ( (一 )口一( 2 d o y ) ) J 便可以化为常系数的线性方程,知函数仍为 .£,未 ) ) J (自变量已换成 t求解 ( )再用 t lx代回得方程 ()的 . 1,— n 1 解 .£. ) ) J (

欲使 ( )常系数线性方程,须有 4为必 1=一常数一一一吊烈一了’

() 5 () 6

特别地,方程 ()中缺少 z的项,为 ( )+当 1即 z

[ ( z] ) 由 ()得 ( ) 5 z、

, ,即

常数一 C ̄ 2

口 ( )J=, z .以令 Y

z . ) ()可一£则化为降低一阶的方程, 口 ( )口 ( ) 2 z£+ z£:, z,它改写为£ ()把+ 口’ Z

£:

£ () I= z一、 此时,6 ( )式化为

z .

() 7

,

即可求其解。

除了欧拉方程,有~些变系数方程亦可通过变量还 代换化为常系数方程 .于二阶变系数线性非齐次微分对 方程

± E()号 q x]

、 2一

:常数:

() 8

所以条件 ( )立时助变换 ()将方程 ()为 8成借 7可 3化 常系数线性方程

下将三方对讲).面从+面它行解个 )}求爪x-x= pyqy ('( -进 下面将从

+c+.g. ,÷ ( 2 ) J

( 9 )

1自变量代换

注, z 0,(; 0c ()时 g£ ) .为适当选取之常数,使

定 _)一,变代换论取一即q+三,理当口l n自换羹1 C0当( ))时 (虿在量 推 ,口 2 q三 z 。2,夕 (三 ( z z z 0 ) 收稿日期:2 0— 0— 2 . 08 2 5 基金项目:黄冈师范学院教学研究项目,目编号:0 5 E 1项 20C 0.

作者简介:陈惠汝 (98 )女, 17 -,湖北英山人,,讲师主要从事基础数学教学与研究. 2 1

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