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高等数学习题题解

第五章

3. 求下列极限

x1

1 cosπx0

解:(1)此极限是“”型未定型,由洛必达法则,得

x 1

x (1) lim

sinπtdt

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arctant . (2)lim

x

2

dt

lim

x 1

2

x1

sinπtdt

1 cosπx

型=lim

x 1

( sinπtdt)

1

x

(1 cosπx)

2

=lim

sinπx11

lim()

x 1 πsinπxx 1 ππ

2

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arctant

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(2)lim

xx

dt

lim

arctanx

1

12

x 1 22x 2

lim

arctanx

x

x

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lim

x

22 limarctanx x4

2. 计算下列定积分: (1)

40

12sinxcos3xdxdx. (3); x2dx, (2) 0

0

4 x2

1

(4) (7)

e

1

1ln2ln2xxdxx

x; (5) ; e 1dx; (6) 10x5 4x

4

dxx 1

10

; (8) sinxdx; (9)

2

3

e2

dxx lnx

1

1 dx

(10) 2; (11) cos2xdx ;(12) x2 x2dx。

2x 2x 200

解:(1)令x=4sint,则 x2 4cost,dx 4costdt,当x= 0 时,t= 0;当x= 4 时,t 是

π

,于2

40

2

20

xdx= 4cost 4costdt 8(1 cos2t)dt (8t 4sin2t)

π20

π20

111

dx(2) =

04 x2

2 0

1

1x1x11

d()= . x2220221 ()2

2

20

2114

cosxdcosx cosx

440

3

1

(3) sinxcosxdx

2

3

(4)

e

1

eln2x111x ln2xd(lnx) (lnx)3 [(lne)3 (ln1)3]

1x3331

e

(5)令ex 1 t,x lnt2 1,dx

2t

dt,x 0时t 0;x ln2时,t 1. 2

t 1

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