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论最大模原理的部分应用

第,卷第.期.!!(年,月衡水师专学报

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论最大模原理的部分应用

(衡水师范专科学校数学系,河北衡水!"#!!!)

摘要:最大模原理是解析函数论中最有用的定理之一,应用它可以解决多方面的问题,主要包括下面几点:证明一些有名

的定理和引理;证明某函数在一区域内有零点;证明某函数为常数$

关键词:解析;最大模;最大模原理中图分类号:%&’($"

文献标识码:)

文章编号:(.!!()&!!*+,-!!!.+!!&!+!.

证明

设"!是#的任一内点,令

[&](/&,-)

最大模原理:设(!")在区域#内解析,

则(除非!"在#内任何点都不能达到最大值,(在#内恒等于常数$!")

最大模原理在解析函数论中有着极为广泛的应用,下面列举它的部分应用$&&$&

证明一些有名的定理和引理

(/&’()最小模原理[&]:若区域#内不恒为常数

#&1

!(&"!(&1&,…%),.,

&!令#&1&)$#&1&(当!(&"!)1!时,

对函数’(")1#&!(运用最2…2#%!(&")%")

’("在#的某一边界点"&上达到最大("!#值,即’

("&;("&#"("&),但’’

("!1"("!),可见"("!)("&)’$#"

[]()

如果函数(在单位圆&$#席瓦尔兹引理&/&**:!")并且满足条件"0&内解析,

(,!!)1!(!")0&("0&)

则在单位圆"0&内恒有(!"#",且有(!#&$!3

如果上式等号成立,或在圆"0&内一点

则(当且仅当)"!!!处前一式等号成立,

(,!")1()*"("0&)

其中*为一常数$

证明令"(")1

设(,!")1+&"2+.".2…("0&)(!")

$1+&2+."2…("!!)

"

的解析函数(,在#内的非零点"!有(!")!"!)!!,则(!"!不可能是(!"在#内的最小值$

证明

因(在#内解析且不恒为常数,若!")

有零点,则这些零点必是孤立的$因此,由(!"!)!必存在某个含"!的邻域$"+"!0!,!,"!"#,使(!"!)!!$

&

作"(")1,因(在$内解析且无零点,!")

(")在$内解析,又因(在#内不恒为常数,则"!")

从而它在$内不恒为常数,则"(")在$内不恒为常数,"("在"!处不能达到极大值,从而(因此!"在"!处不能达到极大值,(!"!不可能是(!"在#内的最小值$&$.

定理

若!(,…!(都在#内解析,而且&")%")

直到边界上连续,则"(")1!(&"2…2!(%"是直到边界上连续的函数而且在边界上达

(/&!*)到最大值[.]$

定义"(!)1+&1!3(!),则"(")在"0&内

解析$

考虑"(")在单位圆"0&内任一点"!处的值,如果,满足条件"!0,0&,根据最大模原理,有

!

收稿日期:.!!(+!&+!*

作者简介:霍凤茹(&-,’+),女,河北武强县人,衡水师专数学系讲师,理学硕士$

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