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第十章 线性系统的状态空间分析与综合

胡寿松第五版

第十章 线性系统的状态空间分析与综合

10-1 求通过x(0) 1,x(1) 2,使下列性能指标为极值的曲线:

2 1)dt。 J (x

t0

tf

1;解:L x

L Ld L

, ; 0, 2x 2 x x xdt x

0;通解为 x(t) at b; x欧拉方程为

所求极值曲线为 x(t) t 1,(J 2)。

2

10-2 设x x(t),0 t 1,求从x(0) 0到x(1) 1间的最短曲线。 解:ds (dx dt)

2

2

1/2

,J

s10

2 1)1/2dt; ds (x

1

L L

(x 2 1) 1/2; 0, x x x

Ld Ldx

a为常数,即x(t) at; 欧拉方程为 0, 0;要求 x21/2

1) xdt xdt(x

所求极值曲线为 x(t) t,(J 2)。

2 1)1/2;L (x

10-3 求性能指标

2 1)dt J (x

1

在边界条件x(0) 0,x(1)是自由情况下的极值曲线。 解:极值曲线需满足欧拉方程、边界条件和横截条件;

x(0) 0 L Ld L

; 0; x(1) xdt x x 2 1;L x

T

,t) tf 0; x(tf) L(x ,x

t

f

tf

L

0;即x(t) c; 0,x

t x

f

L Ld L

, ; 0; 2x 2 x x xdt x

考虑边界条件,所求极值曲线为 x(t) 0, (J 1)。

0,满足x(1)自由。 1)取最小值,即要求x注:直观(x

10-4 求性能指标

/2

2

J

1 x 2 2x1x2;解:L x

2

2

2

12 x 2(x 2x1x2)dt

在边界条件x1(0) x2(0) 0,x1( /2) x2( /2) 1 情况下的极值曲线。

1 1 xd L 2 L 2x2 L 2x

,,; 2x2 dt x 2x2 x 2x1 x

1 x2 , 2 x1; 欧拉方程为 xx

导出4阶常微分方程 x1

t

t(4)

x1;

jt

jt

通解为 x1 ae be ce de,x2 ae be ce de

t tjt jt

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