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高中数学竞赛(00-06年)试题分类汇总——排列组合

高中数学竞赛(00-06年)试题分类汇总——排列组合

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专题七 排列、组合、二项式定理和概率

一、

选择题(每小题6分)

21000

2

2000

1.(01全国)若(1+x+x)的展开式为a0+a1x+a2x+ +a2000x,则a0+a3+a6+

a9+ +a1998的值为 ( ) A.3 B3 C.3 D.3

333

666

999

2001

解:由于要求的是展开式中每间降两项系数的和,所以联想到1的单位根,用特殊值法.

取ω=-(1/2)+( 令x=1,得 3

1000

/2)i,则ω=1,ω+ω+1=0. =a0+a1+a2+a3+ +a2000; ①

2000

32

令x=ω,得 0=a0+a1ω+a2ω+ +a2000ω

; ②

4000

令x=ω,得 0=a0+a1ω+a2ω+a3ω+ +a2000ω ①+②+③得 3

1000

. ③

=3(a0+a3+a6+ +a1998).

999

∴a0+a3+a6+ +a1998=3,选C.

2.(02全国)已知两个实数集合A={a1,a2, ,a100}与B={b1,b2, ,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤ ≤f(a100)则这样的映射共有( )

50100

4899

49

49

(A)C (B)C (C)C

100

(D)C

99

解:不妨设b1<b2< <b50,将A中元素a1,a2, ,a100按顺序分为非空的50组。

定义映射f:A→B,使第i组的元素在f之下的象都是bi(i=1,2, ,50).易知这样的f满足题设要求,每个这样的分组都一一对应满足条件的映射,于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等,而A的分法数为C故选D。

4999

,则这样的映射共有C

4999

3.(04全国)设三位数n abc,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( ) A. 45个

B. 81个

C. 165个

D. 216个

解:a,b,c要能构成三角形的边长,显然均不为0。即a,b,c {1,2,...,9}。 (1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为n1,由于三位数中三个数码都相同,所

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