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高中数学奥赛辅导教材第一讲

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第一讲 集合概念及集合上的运算

知识、方法、技能

高中一年级数学(上)(试验本)课本中给出了集合的概念;一般地,符合某种条件(或具有某种性质)的对象集中在一起就成为一个集合.

在此基础上,介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集,集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题,形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系,表面平面轨迹及其关系,表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等综合型题目.

赛题精讲

Ⅰ.集合中待定元素的确定

充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系,往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例. 例1:求点集{(x,y)|lg(x

3

131

y ) lgx lgy}中元素的个数. 39

3

【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知x 0,y 0,及x

3

131

y xy, 39

由平均值不等式,有x

13111

y 3(x3) (y3) () xy, 3939

当且仅当x

3

13111

y ,即x ,y (虚根舍去)时,等号成立. 3993

故所给点集仅有一个元素.

【评述】此题解方程中,应用了不等式取等号的充要条件,是一种重要解题方法,应注意掌握之.

例2:已知A {y|y x 4x 3,x R},B {y|y x 2x 2,x R}.求A B. 【思路分析】先进一步确定集合A、B.

【略解】y (x 2) 1 1,又y (x 1) 3 3. ∴A={y|y 1},B {y|y 3},故A B {y| 1 y 3}. 【评述】此题应避免如下错误解法:

2

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