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因式分解定理的应用

因式分解定理的两个应用

刘学勇 (浙江省象山县荔港学校 315731)

因式分解定理:用一次多项式x-a去除多项式f(x)(f(x)表示关于x的多项式)所得的余式是一个常数,这个常数等于f(a)(当x=a时关于x的多项式的值)。

推论:多项式f(x)能被x-a整除,则f(a)=0;反之若f(a)=0,则x-a整除多项式f(x)。通俗的说成:如果x=a时,关于x的多项式的值为零,那么x-a是该多项式的一个因式。反之亦然。

利用此定理可以进行因式分解和解特殊的高次方程。

例1.若(x-a)(x-b)-k中含有因式x+b,则k=

分析:根据因式分解定理把x=-b代入(x-a)(x-b)-k=0得2b(a+b)-k=0,则k=2b(a+b)

32例2.已知多项式ax+bx+cx+d 除以x-1时,所得的余数是1,除以x-2时,所得的

32余数是3,那么多项式ax+bx+cx+d除以(x-1)(x-2)时,所得的余式是( )

A。2x-1 B。2x+1 C。x+1 D。x-1

(第12届初二第二试)

f(1) 1解:设f(x)=ax+bx+cx+d=a(x-1)(x-2)+px+q,由因式分解定理 f(2) 3 32

解得 p 232,所以多项式ax+bx+cx+d除以(x-1)(x-2)时,所得的余式是2x-1。 q 1

322例3.已知a,b,c均为实数,且多项式x+ax+bx+c能够被x+3x-4整除。(1)求

4a+c的值。(2)求 2a-2b-c的值;(3)若 a,b,c 为整数,且c a 1 试确定

(第8届初二第二试) a,b,c的大小。

2解:(1)因为x+3x-4=(x-1)(x+4),所以x-1,x+4都能整除x+ax+bx+c,32

所以

f(1) 0 1 a b c 0 a b c 1,即 ,整理得 解得b=3a-13, f( 4) 0 64 16a 4b c 0 16a 4b c 64

c=12-4a,所以4a+c=12,

(2)2a-2b-c=2a-2(3a-13)-(12-4a)=14。

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